Hoe bereken je de covariantie?
Hoe bereken je de covariantie?
Covariantie bereken je door de gemiddelden van twee datasets te bepalen. Vervolgens bereken je voor elk datapunt de afwijking van het gemiddelde, vermenigvuldig je deze afwijkingen per paar, en tel je de producten op. Ten slotte deel je de som van deze producten door het aantal datapunten min één voor een steekproef. Dit geeft inzicht in de gezamenlijke variatie van de variabelen.
De berekening van de covariantie volgt een gestructureerd stappenplan. De formule voor de steekproefcovariantie, die vaak in de praktijk wordt gebruikt, is:
Cov(X, Y) = Σ [(xᵢ - x̄)(yᵢ - ȳ)] / (n - 1)
Hierbij staat:
- xᵢ voor een individuele waarde in dataset X
- yᵢ voor een individuele waarde in dataset Y
- x̄ voor het gemiddelde van dataset X
- ȳ voor het gemiddelde van dataset Y
- n voor de steekproefgrootte (het aantal datapunten)
- Σ voor de som van alle producten
Voor het handmatig berekenen van de covariantie volg je deze stappen:
- Bereken de gemiddelden: Bereken het gemiddelde van alle waarden in dataset X (x̄) en het gemiddelde van alle waarden in dataset Y (ȳ).
- Bereken de afstanden tot het gemiddelde: Voor elke individuele x-waarde (xᵢ) bereken je het verschil met het gemiddelde van X (xᵢ - x̄). Doe hetzelfde voor elke y-waarde (yᵢ - ȳ).
- Bereken het product van de afstanden: Vermenigvuldig voor elk paar datapunten het berekende verschil van X met het berekende verschil van Y: (xᵢ - x̄) (yᵢ - ȳ).
- Tel de producten op en deel: Tel alle producten van de afstanden bij elkaar op. Deel deze som vervolgens door de steekproefgrootte (n) min 1. Dit resulteert in de covariantie van de steekproef.
Voor een populatie wordt de som van de producten gedeeld door de populatiegrootte (N) in plaats van (n-1). In de financiële wereld en statistiek wordt echter vaak de steekproefcovariantie gebruikt, omdat men zelden de volledige populatiegegevens beschikbaar heeft.
Laten we een uitgewerkt rekenvoorbeeld bekijken om de berekening van covariantie te verduidelijken, waarbij we eurobedragen gebruiken.
Stel, we hebben de volgende twee datasets voor vijf datapunten:
- Dataset X (Maandelijkse marketinguitgaven in euro's):
- Dataset Y (Maandelijkse verkoopcijfers in euro's):
We berekenen de covariantie stap voor stap:
- Gemiddelden berekenen:
- Gemiddelde X (x̄) = (100 + 120 + 150 + 130 + 100) / 5 = 600 / 5 = 120 euro
- Gemiddelde Y (ȳ) = (5000 + 6000 + 8000 + 7000 + 4000) / 5 = 30000 / 5 = 6000 euro
- Afstanden tot het gemiddelde berekenen:
| xᵢ (uitgaven) | yᵢ (verkopen) | xᵢ - x̄ (xᵢ - 120) | yᵢ - ȳ (yᵢ - 6000) | (xᵢ - x̄)(yᵢ - ȳ) |
|---|---|---|---|---|
| 100 | 5000 | 100 - 120 = -20 | 5000 - 6000 = -1000 | (-20) (-1000) = 20000 |
| 120 | 6000 | 120 - 120 = 0 | 6000 - 6000 = 0 | (0) (0) = 0 |
| 150 | 8000 | 150 - 120 = 30 | 8000 - 6000 = 2000 | (30) (2000) = 60000 |
| 130 | 7000 | 130 - 120 = 10 | 7000 - 6000 = 1000 | (10) (1000) = 10000 |
| 100 | 4000 | 100 - 120 = -20 | 4000 - 6000 = -2000 | (-20) (-2000) = 40000 |
- Som van de producten:
- Som = 20000 + 0 + 60000 + 10000 + 40000 = 130000
- Delen door (n - 1):
- De steekproefgrootte (n) is 5. Dus (n - 1) = 4.
- Covariantie = 130000 / 4 = 32500
De berekende covariantie van 32500 is positief, wat duidt op een positief lineair verband tussen de marketinguitgaven (X) en de verkoopcijfers (Y) in dit voorbeeld. Dit betekent dat hogere uitgaven over het algemeen samengaan met hogere verkopen.
Voor een snellere berekening kan software zoals Excel worden gebruikt. In Excel bereken je de steekproefcovariantie met de formule =COVARIANTIE.S(matrix1; matrix2) en de populatiecovariantie met =COVARIANTIE.P(matrix1; matrix2). Hierbij zijn 'matrix1' en 'matrix2' de reeksen met de x- en y-waarden.
Voor meer inzicht in gerelateerde statistische concepten, zoals de correlatiecoëfficiënt, kunt u hier verder lezen.